Главная » Ростелеком » Что такое выделение сигнала колебательным контуром. Колебательный контур: принцип работы, виды контуров, параметры и характеристики

Что такое выделение сигнала колебательным контуром. Колебательный контур: принцип работы, виды контуров, параметры и характеристики

Электрическим колебательным контуром называют замкнутую цепь, состоящую из конденсатора С и катушки индуктивности L (рис. 9.8). Периодически повторяющиеся изменения силы тока в катушке и напряжения на конденсаторе при отсутствии внешних воздействий называются свободными колебаниями.

При подключении к обкладкам заряженного конденсатора (рис. 9.8а ) катушки индуктивности в ней возникает ток. Если электрическое сопротивление катушки пренебрежимо мало, то энергия электрического поля W е заряженного конденсатора начинает превращаеться в энергию магнитного поля W м . Мгновенной раз-рядке конденсатора препятствует ЭДС самоиндукции, сдер-живающая процесс возрастания силы тока в катушке.

В тот мо-мент, когда конденсатор полностью разрядится, сила тока в катушке и энергия магнитного поля достигнут максимальных (амплитудных) значений (рис. 9.8б ). После разрядки конденсатора ток в катушке убывает, но это приводит к уменьшению магнитного потока, что вызывает появ-ление в катушке ЭДС самоиндукции и индукционного тока. Сейчас на-правление индукционного тока таково, что он препятствует умень-шению магнитного потока.

Конденсатор заряжается индукционным током катушки. Когда ток исчезнет, конденсатор окажется заряженным до первоначального значения заряда, но противоположного знака (рис. 9.8в ). После этого происходит следующий процесс перезарядки конденсатора током, протекающим в противоположном направлении (рис. 9.8г ), и возврат в исходное состояние после совершения одного полного колебания (рис. 9.8д ). В верхней части рисунка показаны значения времени соответ-ству-ющих состояний, выраженные в долях периода

Где w 0 - круговая (циклическая) частота колебаний в контуре.

Из закона сохранения энергии следует, что при отсутствии в контуре сопротивления максимальное значение энергии W e электрического поля заряжен-ного конденсатора равно максимальному значению энергии магнитного поля W м катушки: , откуда можно получить связь амплитудных значений тока в катушке и напряжения на конденсаторе: . Это отношение имеет размерность сопротивления, поэтому величину называют волновым, или характеристическим сопротивлением контура.

В реальном электрическом контуре из-за потерь энергии на нагревание проводников и диэлектриков энергия магнитного и электрического полей по-степенно превращается во внутреннюю энергию. Свободные электромагнитные колебания в контуре оказываются затухающими .

Потери энергии в контуре можно учесть путем введения активного сопротивления (рис. 9.9). Поскольку потери в диэлектрике конденсатора малы, это сопротивление практически равно активному сопротивлению катушки индуктивности. Считая направление тока, заряжающего конденсатор, положительным, запишем закон Ома для участка цепи от отрицательно заряженной обкладки конденсатора 1 до положительно заряженной 2 . В соответствии с (2.13) получаем: .

Направление обхода контура от точки 1 к точке 2 совпадает с направлением тока, поэтому произведение iR положительно. ЭДС самоиндукции по правилу Ленца отрицательна. Так как потенциал отрицательно заряженной пластины меньше, чем потенциал положительной, разность потенциалов (j 1 - j 2) отрицательна: , где q - заряд на конденсаторе. Изменение заряда конденсатора вызывается током, поэтому . С учетом вышеизложенного на основании закона Ома можно записать:

, или

, (9.8)

где b = R/2L - коэффициент затухания, - собственная частота.

Дифференциальное уравнение (9.8) подобно уравнению, полученному для механического пружинного маятника (см. раздел "Механика"). Решение данного уравнения имеет вид: , (9.9)

где q 0 - амплитуда тока в начальный момент времени,

Частота затухающих колебаний. Из (9.9) следует, что уменьшение амплитуды со временем происходит по экспоненциальному закону (рис. 9.10). Частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний w 0 . Из (9.10) следует, что при большом затухании (b ³ w 0 ) частота становится мнимой величиной. Это означает, что колебательного процесса не происходит и заряд конденсатора уменьшается до нуля без перезарядки. Такой процесс называется апериодическим .

Выразим условие перехода от колебательного процесса к апериодическому через параметры цепи. Имеем: (R/2L) 2 ³ 1/LC или .

Степень затухания колебаний принято характеризовать логариф-мичес-ким декрементом затуханияl . Он равен логарифму натуральному двух амплитуд через период Т :

или (9.11)

Еще одной характеристикой контура является добротность. Она связана с логарифмическим декрементом затухания соотношением . Нетрудно показать, что при малом затухании, когда b << w 0 и w" » w 0 , добротность выражается через параметры колебательного контура следующим образом: , (9.12)

то есть равна отношению характеристического сопротивления контура к активному сопротивлению потерь.

Для генерации высокочастотных волн часто применяются схемы на основе колебательного контура. Подобрав параметры элементов цепи, можно производить частоты свыше 500 МГц. Схемы используются в ВЧ-генераторах, высокочастотном нагреве, телевизионных и радиоприемниках.

Jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/03/1-11.jpg 661w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Колебательный контур

Колебательный контур – это последовательное или параллельное соединение индуктивных и конденсаторных элементов, генерирующих электромагнитные колебания любой заданной частоты. Оба компонента схемы способны хранить энергию.

Когда существует разность потенциалов на конденсаторных пластинах, он сохраняет энергию электрического поля. Аналогично энергия сохраняется в магнитном поле индуктивной катушки.

Работа колебательного контура

Когда первоначально конденсатор подключается к источнику постоянного тока, на нем возникает разность потенциалов. Одна пластина имеет избыток электронов и заряжена отрицательно, другая – недостаток электронов и заряжена положительно.

Что будет, если в цепь включить индуктивную катушку:

При замыкании контакта, соединяющего электроцепь, конденсатор начинает разряжаться через катушку индуктивности. Накопленная им энергия электрического поля снижается;
Ток, протекающий через катушку L, индуцирует ЭДС, противостоящую потоку электронов. Из-за этого скорость нарастания тока медленная. В катушке создается магнитное поле, которое начинает накапливать свою энергию. После полного разряда конденсатора поток электронов через катушку уменьшается до нуля. Электростатическая энергия, накопленная в конденсаторе, преобразуется в энергию магнитного поля катушки;
Когда конденсатор разряжен, магнитное поле начинает постепенно разрушаться, но, согласно закону Ленца, индукционный ток катушки способствует заряду конденсатора с противоположной полярностью. Энергия, связанная с магнитным полем, снова превращается в электростатическую;

Важно! В идеальном случае, когда нет потерь на L и С, конденсатор зарядился бы до первоначального значения с противоположным знаком.

После того, как уменьшающееся магнитное поле перезарядило конденсатор, он снова начинает разряжаться с потоком тока обратной направленности, а МП опять нарастает.

Последовательность зарядки и разрядки продолжается, то есть процесс преобразования электростатической энергии в магнитную и наоборот периодически повторяется, подобно маятнику, у которого потенциальная энергия циклически превращается в кинетическую и обратно.

Непрерывный процесс зарядки и разрядки приводит к меняющему направление движению электронов или к колебательному току.

Обмен энергией между L и С будет продолжаться бесконечно, если отсутствуют потери. Часть энергии теряется, рассеиваясь в виде тепла на проводах катушки, соединительных проводниках, из-за тока утечки конденсатора, электромагнитного излучения. Поэтому колебания будут затухающими.

Png?.png 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/03/2-3-768x463..png 900w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Затухающие колебания

Резонанс

Если схема с конденсатором, катушкой и резистором возбуждается напряжением, постоянно меняющимся во времени с определенной частотой, то также изменяются реактивные сопротивления: индуктивное и емкостное. Амплитуда и частота выходного сигнала будет изменяться по сравнению с входным.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте:

X(L) = 2π x f x L,

а емкостное сопротивление обратно пропорционально этому показателю:

X(C) = 1/(2π x f x C).

Важно! На более низких частотах индуктивное сопротивление незначительное, а емкостное будет высоким и сможет создавать практически разомкнутый контур. На высоких частотах картина обратная.

При конкретной комбинации конденсатора и катушки схема становится резонансной, или настроенной, имеющей частоту колебаний, при которой индуктивное сопротивление идентично емкостному. И они компенсируют друг друга.

Следовательно, в цепи остается исключительно активное сопротивление, противостоящее протекающему току. Созданные условия получили наименование резонанса колебательного контура. Фазовый сдвиг между током и напряжением отсутствует.

Jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/03/3-9-768x576..jpg 800w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Резонанс LC-цепи

Для расчета резонансной частоты колебательного контура учитывается следующее условие:

Следовательно, 2π x f x L = 1/(2πx f x C).

Отсюда получается формула резонансной частоты:

f = 1/(2π x √(L x C)).

Расчет резонансной частоты, индуктивности и емкости можно сделать на онлайн калькуляторе, подставив конкретные значения.

Скорость, с которой рассеивается энергия от LC-схемы, должна быть такой же, как энергия, подаваемая на схему. Устойчивые, или незатухающие, колебания производятся электронными схемами генераторов.

LC-цепи используются либо для генерации сигналов на определенной частоте, либо для выделения частотного сигнала из более сложного. Они являются ключевыми компонентами многих электронных устройств, в частности радиооборудования, используемого в генераторах, фильтрах, тюнерах и частотных микшерах.

Видео

Электромагнитное поле может существовать и в отсутствие электрических зарядов или токов: именно такие «самоподдерживающиеся» электрическое и магнитное поля представляют собой электромагнитные волны, к которым относятся видимый свет, инфракрасное, ультрафиолетовое и рентгеновское излучения, радиоволны и т. д.

§ 25. Колебательный контур

Простейшая система, в которой возможны собственные электромагнитные колебания, - это так называемый колебательный контур, состоящий из соединенных между собой конденсатора и катушки индуктивности (рис. 157). Как и у механического осциллятора, например массивного тела на упругой пружине, собственные колебания в контуре сопровождаются энергетическими превращениями.

Рис. 157. Колебательный контур

Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями. Для колебательного контура аналог потенциальной энергии механического осциллятора (например, упругой энергии деформированной пружины) - это энергия электрического поля в конденсаторе. Аналог кинетической энергии движущегося тела - энергия магнитного поля в катушке индуктивности. В самом деле, энергия пружины пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия а энергия конденсатора пропорциональна квадрату заряда Кинетическая энергия тела пропорциональна квадрату его скорости а энергия магнитного поля в катушке пропорциональна квадрату силы тока

Полная механическая энергия пружинного осциллятора Е равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

Энергия колебаний. Аналогично, полная электромагнитная энергия колебательного контура равна сумме энергий электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке:

Из сопоставления формул (1) и (2) следует, что аналогом жесткости к пружинного осциллятора в колебательном контуре служит величина обратная емкости конденсатора С, а аналогом массы - индуктивность катушки

Напомним, что в механической системе, энергия которой дается выражением (1), могут происходить собственные незатухающие гармонические колебания. Квадрат частоты таких колебаний равен отношению коэффициентов при квадратах смещения и скорости в выражении для энергии:

Собственная частота. В колебательном контуре, электромагнитная энергия которого дается выражением (2), могут происходить собственные незатухающие гармонические колебания, квадрат частоты которых тоже, очевидно, равен отношению соответствующих коэффициентов (т. е. коэффициентов при квадратах заряда и силы тока):

Из (4) следует выражение для периода колебаний, называемое формулой Томсона:

При механических колебаниях зависимость смещения х от времени определяется косинусоидальной функцией, аргумент которой называется фазой колебаний:

Амплитуда и начальная фаза. Амплитуда А и начальная фаза а определяются начальными условиями, т. е. значениями смещения и скорости при

Аналогично, при электромагнитных собственных колебаниях в контуре заряд конденсатора зависит от времени по закону

где частота определяется, в соответствии с (4), только свойствами самого контура, а амплитуда колебаний заряда и начальная фаза а, как и у механического осциллятора, определяется

начальными условиями, т. е. значениями заряда конденсатора и силы тока при Таким образом, собственная частота не зависит от способа возбуждения колебаний, в то время как амплитуда и начальная фаза определяются именно условиями возбуждения.

Энергетические превращения. Рассмотрим подробнее энергетические превращения при механических и электромагнитных колебаниях. На рис. 158 схематически изображены состояния механического и электромагнитного осцилляторов через промежутки времени в четверть периода

Рис. 158. Энергетические превращения при механических и электромагнитных колебаниях

Дважды за период колебаний энергия превращается из одного вида в другой и обратно. Полная энергия колебательного контура как и полная энергия механического осциллятора, в отсутствие диссипации остается неизменной. Чтобы убедиться в этом, нужно в формулу (2) подставить выражение (6) для и выражение для силы тока

Используя формулу (4) для получаем

Рис. 159. Графики зависимости от времени заряда конденсатора энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля в катушке

Неизменная полная энергия совпадает с потенциальной энергией в моменты, когда заряд конденсатора максимален, и совпадает с энергией магнитного поля катушки - «кинетической» энергией - в моменты, когда заряд конденсатора обращается в нуль, а ток максимален. При взаимных превращениях два вида энергии совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой в противофазе друг с другом и с частотой относительно своего среднего значения . В этом легко убедиться как из рис. 158, так и с помощью формул тригонометрических функций половинного аргумента:

Графики зависимости от времени заряда конденсатора энергии электрического поля и энергии магнитного поля показаны на рис. 159 для начальной фазы

Количественные закономерности собственных электромагнитных колебаний можно установить непосредственно на основе законов для квазистационарных токов, не обращаясь к аналогии с механическими колебаниями.

Уравнение для колебаний в контуре. Рассмотрим простейший колебательный контур, показанный на рис. 157. При обходе контура, например, против часовой стрелки, сумма напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе в такой замкнутой последовательной цепи равна нулю:

Напряжение на конденсаторе связано с зарядом пластины и с емкостью С соотношением Напряжение на индуктивности в любой момент времени равно по модулю и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, поэтому Ток в цепи равен скорости изменения заряда конденсатора: Подставляя силу тока в выражение для напряжения на катушке индуктивности и обозначая вторую производную заряда конденсатора по времени через

Получим Теперь выражение (10) принимает вид

Перепишем это уравнение иначе, вводя по определению :

Уравнение (12) совпадает с уравнением гармонических колебаний механического осциллятора с собственной частотой Решение такого уравнения дается гармонической (синусоидальной) функцией времени (6) с произвольными значениями амплитуды и начальной фазы а. Отсюда следуют все приведенные выше результаты, касающиеся электромагнитных колебаний в контуре.

Затухание электромагнитных колебаний. До сих пор обсуждались собственные колебания в идеализированной механической системе и идеализированном LC-контуре. Идеализация заключалась в пренебрежении трением в осцилляторе и электрическим сопротивлением в контуре. Только в этом случае система будет консервативной и энергия колебаний будет сохраняться.

Рис. 160. Колебательный контур с сопротивлением

Учет диссипации энергии колебаний в контуре можно провести аналогично тому, как это было сделано в случае механического осциллятора с трением. Наличие электрического сопротивления катушки и соединительных проводов неизбежно связано с выделением джоулевой теплоты. Как и раньше, это сопротивление можно рассматривать как самостоятельный элемент в электрической схеме колебательного контура, считая катушку и провода идеальными (рис. 160). При рассмотрении квазистационарного тока в таком контуре в уравнение (10) нужно добавить напряжение на сопротивлении

Подставляя в получаем

Вводя обозначения

перепишем уравнение (14) в виде

Уравнение (16) для имеет точно такой же вид, как и уравнение для при колебаниях механического осциллятора с

трением, пропорциональным скорости (вязким трением). Поэтому при наличии электрического сопротивления в контуре электромагнитные колебания происходят по такому же закону, как и механические колебания осциллятора с вязким трением.

Диссипация энергии колебаний. Как и при механических колебаниях, можно установить закон убывания со временем энергии собственных колебаний, применяя закон Джоуля-Ленца для подсчета выделяющейся теплоты:

В результате в случае малого затухания для промежутков времени, много больших периода колебаний, скорость убывания энергии колебаний оказывается пропорциональной самой энергии:

Решение уравнения (18) имеет вид

Энергия собственных электромагнитных колебаний в контуре с сопротивлением убывает по экспоненциальному закону.

Энергия колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды. Для электромагнитных колебаний это следует, например, из (8). Поэтому амплитуда затухающих колебаний, в соответствии с (19), убывает по закону

Время жизни колебаний. Как видно из (20), амплитуда колебаний убывает в раз за время равное независимо от начального значения амплитуды Это время х носит название времени жизни колебаний, хотя, как видно из (20), колебания формально продолжаются бесконечно долго. В действительности, конечно, о колебаниях имеет смысл говорить лишь до тех пор, пока их амплитуда превышает характерное значение уровня тепловых шумов в данной цепи. Поэтому фактически колебания в контуре «живут» конечное время, которое, однако, может в несколько раз превосходить введенное выше время жизни х.

Часто бывает важно знать не само по себе время жизни колебаний х, а число полных колебаний, которое произойдет в контуре за это время х. Это число умноженное на называют добротностью контура.

Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими. При малом затухании можно условно говорить о периоде, под которым понимают промежуток времени между двумя

последонательными максимальными значениями заряда конденсатора (одинаковой полярности), либо максимальными значениями тока (одного направления).

Затухание колебаний влияет на период, приводя к его возрастанию по сравнению с идеализированным случаем отсутствия затухания. При малом затухании увеличение периода колебаний очень незначительно. Однако при сильном затухании колебаний вообще может не быть: заряженный конденсатор будет разряжаться апериодически, т. е. без изменения направления тока в контуре. Так будет при т. е. при

Точное решение. Сформулированные выше закономерности затухающих колебаний следуют из точного решения дифференциального уравнения (16). Непосредственной подстановкой можно убедиться, что оно имеет вид

где - произвольные постоянные, значения которых определяются из начальных условий. При малом затухании множитель при косинусе можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду колебаний.

Задача

Перезарядка конденсаторов через катушку индуктивности. В цепи, схема которой показана на рис. 161, заряд верхнего конденсатора равен а нижний не заряжен. В момент ключ замыкают. Найти зависимость от времени заряда верхнего конденсатора и тока в катушке.

Рис. 161. В начальный момент времени заряжен только один конденсатор

Рис. 162. Заряды конденсаторов и ток в контуре после замыкания ключа

Рис. 163. Механическая аналогия для электрической цепи, показанной на рис. 162

Решение. После замыкания ключа в цепи возникают колебания: верхний конденсатор начинает разряжаться через катушку, заряжая при этом нижний; затем все происходит в обратном направлении. Пусть, например, при положительно заряжена верхняя обкладка конденсатора. Тогда

спустя малый промежуток времени знаки зарядов обкладок конденсаторов и направление тока будут такими, как показано на рис. 162. Обозначим через заряды тех обкладок верхнего и нижнего конденсаторов, которые соединены между собой через катушку индуктивности. На основании закона сохранения электрического заряда

Сумма напряжений на всех элементах замкнутого контура в каждый момент времени равна нулю:

Знак напряжения на конденсаторе соответствует распределению зарядов на рис. 162. и указанному направлению тока. Выражение для тока через катушку можно записать в любом из двух видов:

Исключим из уравнения помощью соотношений (22) и (24):

Вводя обозначения

перепишем (25) в следующем виде:

Если вместо ввести функцию

и учесть, что то (27) принимает вид

Это обычное уравнение незатухающих гармонических колебаний, которое имеет решение

где и - произвольные постоянные.

Возвращаясь от функции получим для зависимости от времени заряда верхнего конденсатора следующее выражение:

Для определения постоянных и а учтем, что в начальный момент заряд а ток Для силы тока из (24) и (31) имеем

Поскольку отсюда следует, что Подставляя теперь в и учитывая, что получаем

Итак, выражения для заряда и силы тока имеют вид

Характер осцилляций заряда и тока особенно нагляден при одинаковых значениях емкостей конденсаторов . В этом случае

Заряд верхнего конденсатора осциллирует с амплитудой около среднего значения, равного За половину периода колебаний он уменьшается от максимального значения в начальный момент до нуля, когда весь заряд оказывается на нижнем конденсаторе.

Выражение (26) для частоты колебаний разумеется, можно было написать сразу, поскольку в рассматриваемом контуре конденсаторы соединены последовательно. Однако написать выражения (34) непосредственно затруднительно, так как при таких начальных условиях нельзя входящие в контур конденсаторы заменить одним эквивалентным.

Наглядное представление о происходящих здесь процессах дает механический аналог данной электрической цепи, показанный на рис. 163. Одинаковые пружины соответствуют случаю конденсаторов одинаковой емкости. В начальный момент левая пружина сжата, что соответствует заряженному конденсатору, а правая находится в недеформированном состоянии, так как аналогом заряда конденсатора здесь служит степень деформации пружины. При прохождении через среднее положение обе пружины частично сжаты, а в крайнем правом положении левая пружина недеформирована, а правая сжата так же, как левая в начальный момент, что соответствует полному перетеканию заряда с одного конденсатора на другой. Хотя шар совершает обычные гармонические колебания около положения равновесия, деформация каждой из пружин описывается функцией, среднее значение которой отлично от нуля.

В отличие от колебательного контура с одним конденсатором, где при колебаниях происходит повторяющаяся его полпая перезарядка, в рассмотренной системе первоначально заряженный конденсатор полностью не перезаряжается. Например, при его заряд уменьшается до нуля, а затем снова восстанавливается в той же полярности. В остальном эти колебания не отличаются от гармонических колебаний в обычном контуре. Энергия этих колебаний сохраняется, если, разумеется, можно пренебречь сопротивлением катушки и соединительных проводов.

Поясните, почему из сопоставления формул (1) и (2) для механической и электромагнитной энергий сделан вывод о том, что аналогом жесткости к является а аналогом массы индуктивность а не наоборот.

Приведите обоснование вывода выражения (4) для собственной частоты электромагнитных колебаний в контуре из аналогии с механическим пружинным осциллятором.

Гармонические колебания в -контуре характеризуются амплитудой, частотой, периодом, фазой колебаний, начальной фазой. Какие из этих величин определяются свойствами самого колебательного контура, а какие зависят от способа возбуждения колебаний?

Докажите, что средние значения электрической и магнитной энергий при собственных колебаниях в контуре равны между собой и составляют половину полной электромагнитной энергии колебаний.

Как применить законы квазистационарных явлений в электрической цепи для вывода дифференциального уравнения (12) гармонических колебаний в -контуре?

Какому дифференциальному уравнению удовлетворяет сила тока в LC-контуре?

Проведите вывод уравнения для скорости убывания энергии колебаний при малом затухании аналогично тому, как это было сделано для механического осциллятора с трением, пропорциональным скорости, и покажите, что для промежутков времени, значительно превосходящих период колебаний, это убывание происходит по экспоненциальному закону. Какой смысл имеет использованный здесь термин «малое затухание»?

Покажите, что функция даваемая формулой (21), удовлетворяет уравнению (16) при любых значениях и а.

Рассмотрите механическую систему, показанную на рис. 163, и найдите зависимость от времени деформации левой пружины и скорости массивного тела.

Контур без сопротивления с неизбежными потерями. В рассмотренной выше задаче, несмотря на не совсем обычные начальные условия для зарядов на конденсаторах, можно было применить обычные уравнения для электрических цепей, поскольку там были выполнены условия квазистационарности протекающих процессов. А вот в цепи, схема которой показана на рис. 164, при формальном внешнем сходстве со схемой на рис. 162, условия квазистационарности не выполняются, если в начальный момент один конденсатор заряжен, а второй - нет.

Обсудим подробнее причины, по которым здесь нарушаются условия квазистационарности. Сразу после замыкания

Рис. 164. Электрическая цепь, для которой не выполняются условия квазистационарности

ключа все процессы разыгрываются только в соединенных между собой конденсаторах, так как нарастание тока через катушку индуктивности происходит сравнительно медленно и поначалу ответвлением тока в катушку можно пренебречь.

При замыкании ключа возникают быстрые затухающие колебания в контуре, состоящем из конденсаторов и соединяющих их проводов. Период таких колебаний очень мал, так как мала индуктивность соединительных проводов. В результате этих колебаний заряд на пластинах конденсаторов перераспределяется, после чего два конденсатора можно рассматривать как один. Но в первый момент этого делать нельзя, ибо вместе с перераспределением зарядов происходит и перераспределение энергии, часть которой переходит в теплоту.

После затухания быстрых колебаний в системе происходят колебания, как в контуре с одним конденсатором емкости заряд которого в начальный момент равен первоначальному заряду конденсатора Условием справедливости приведенного рассуждения является малость индуктивности соединительных проводов по сравнению с индуктивностью катушки.

Как и в рассмотренной задаче, полезно и здесь найти механическую аналогию. Если там две пружины, соответствующие конденсаторам, были расположены по обе стороны массивного тела, то здесь они должны быть расположены по одну сторону от него, так чтобы колебания одной из них могли передаваться другой при неподвижном теле. Вместо двух пружин можно взять одну, но только в начальный момент она должна быть деформирована неоднородно.

Захватим пружину за середину и растянем ее левую половину на некоторое расстояние Вторая половина пружины останется в недеформированном состоянии, так что груз в начальный момент смещен из положения равновесия вправо на расстояние и покоится. Затем отпустим пружину. К каким особенностям приведет то обстоятельство, что в начальный момент пружина деформирована неоднородно? ибо, как нетрудно сообразить, жесткость «половины» пружины равна Если масса пружины мала по сравнению с массой шара, частота собственных колебаний пружины как протяженной системы много больше частоты колебаний шара на пружине. Эти «быстрые» колебания затухнут за время, составляющее малую долю периода колебаний шара. После затухания быстрых колебаний натяжение в пружине перераспределяется, а смещение груза практически остается равным так как груз за это время не успевает заметно сдвинуться. Деформация пружины становится однородной, а энергия системы равной

Таким образом, роль быстрых колебаний пружины свелась к тому, что запас энергии системы уменьшился до того значения, которое соответствует однородной начальной деформации пружины. Ясно, что дальнейшие процессы в системе не отличаются от случая однородной начальной деформации. Зависимость смещения груза от времени выражается той же самой формулой (36).

В рассмотренном примере в результате быстрых колебаний превратилась во внутреннюю энергию (в теплоту) половина первоначального запаса механической энергии. Ясно, что, подвергая начальной деформации не половину, а произвольную часть пружины, можно превратить во внутреннюю энергию любую долю первоначального запаса механической энергии. Но во всех случаях энергия колебаний груза на пружине соответствует запасу энергии при той же однородной начальной деформации пружины.

В электрической цепи в результате затухающих быстрых колебаний энергия заряженного конденсатора частично выделяется в виде джоулевой теплоты в соединительных проводах. При равных емкостях это будет половина первоначального запаса энергии. Вторая половина остается в форме энергии сравнительно медленных электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из катушки и двух соединенных параллельно конденсаторов С, и

Таким образом, в этой системе принципиально недопустима идеализация, при которой пренебрегается диссипацией энергии колебаний. Причина этого в том, что здесь возможны быстрые колебания, не затрагивающие катушки индуктивности или массивного тела в аналогичной механической системе.

Колебательный контур с нелинейными элементами. При изучении механических колебаний мы видели, что колебания далеко не всегда бывают гармоническими. Гармонические колебания - это характерное свойство линейных систем, в которых

возвращающая сила пропорциональна отклонению от положения равновесия, а потенциальная энергия - квадрату отклонения. Реальные механические системы этими свойствами, как правило, не обладают, и колебания в них можно считать гармоническими лишь при малых отклонениях от положения равновесия.

В случае электромагнитных колебаний в контуре может сложиться впечатление, что мы имеем дело с идеальными системами, в которых колебания строго гармонические. Однако это верно лишь до тех пор, пока емкость конденсатора и индуктивность катушки можно считать постоянными, т. е. не зависящими от заряда и тока. Конденсатор с диэлектриком и катушка с сердечником, строго говоря, представляют собой нелинейные элементы. Когда конденсатор заполнен сегнетоэлектриком, т. е. веществом, диэлектрическая проницаемость которого сильно зависит от приложенного электрического поля, емкость конденсатора уже нельзя считать постоянной. Аналогично, индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником зависит от силы тока, так как ферромагнетик обладает свойством магнитного насыщения.

Если в механических колебательных системах массу, как правило, можно считать постоянной и нелинейность возникает только из-за нелинейного характера действующей силы, то в электромагнитном колебательном контуре нелинейность может возникать как за счет конденсатора (аналога упругой пружины), так и за счет катушки индуктивности (аналога массы).

Почему для колебательного контура с двумя параллельными конденсаторами (рис. 164) неприменима идеализация, в которой система считается консервативной?

Почему быстрые колебания, приводящие к диссипации энергии колебаний в контуре на рис. 164, не возникали в контуре с двумя последовательными конденсаторами, показанными на рис. 162?

Какие причины могут приводить к несинусоидальности электромагнитных колебаний в контуре?

Колебательный контур: принцип работы, виды контуров, параметры и характеристики

Не затухающие колебания.

Принцип действия колебательного контура

Заряжаем конденсатор и замыкаем цепь. После этого в цепи начинает течь синусоидальный электрический ток. Конденсатор разряжается через катушку. В катушке при протекании через нее тока возникает ЭДС самоиндукции, направленная в сторону, противоположную току конденсатора.

Разрядившись окончательно, конденсатор благодаря энергии ЭДС катушки, которая в этот момент будет максимальна, начнет заряжаться вновь, но только в обратной полярности. Колебания, которые происходят в контуре – свободные затухающие колебания. То есть без дополнительной подачи энергии колебания в любом реальном колебательном контуре рано или поздно прекратятся, как и любые колебания в природе.

Важная характеристика LC-контура – добротность Q. Добротность определяет амплитуду резонанса и показывает, во сколько раз запасы энергии в контуре превышают потери энергии за один период колебаний. Чем выше добротность системы, тем медленнее будут затухать колебания.

Собственная частота колебательного контура

Частота свободных колебаний тока и напряжения, возникающих в колебательном контуре.

T = 2*п*(L*C)1/2. T - период электромагнитных колебаний, L и C - соответственно, индуктивность катушки колебательного контура и ёмкость элементов контура, п - число пи.

Незатухающие колебания создаются такими устройствами, которые сами могут поддерживать свои колебания за счет некоторого постоянного источника энергии. Такие устройства называются автоколебательными системами.

Любая автоколебательная система состоит из следующих четырех частей

1) колебательная система; 2) источник энергии, за счет которого компенсируются потери; 3) клапан - некоторый элемент, регулирующий поступление энергии в колебательную систему определенными порциями в нужный момент; 4) обратная связь - управление работой клапана за счет процессов в самой колебательной системе.

Генератор на транзисторе - пример автоколебательной системы. На рисунке ниже приведена упрощенная схема такого генератора, в котором роль "клапана" играет транзистор. Колебательный контур подключен к источнику тока последовательно с транзистором. Эмиттерный переход транзистора через катушку Lсв индуктивно связан с колебательным контуром. Эту катушку называют катушкой обратной связи.

При замыкании цепи через транзистор проходит импульс тока, который заряжает конденсатор С колебательного контура, в результате чего в контуре возникают свободные электромагнитные колебания малой амплитуды.

Ток, протекающий по контурной катушке L, индуцирует на концах катушки обратной связи переменное напряжение. Под действием этого напряжения электрическое поле эмиттерного перехода периодически то усиливается, то ослабляется, а транзистор то открывается, то запирается. В те промежутки времени, когда транзистор открыт, через него проходят импульсы тока. Если катушка Lсв подключена правильно (положительная обратная связь), то частота импульсов тока совпадает с частотой колебаний, возникших в контуре, и импульсы тока приходят в контур в те моменты, когда конденсатор заряжается (когда верхняя пластина конденсатора заряжена положительно). Поэтому импульсы тока, проходящие через транзистор, подзаряжают конденсатор и пополняют энергию контура, и колебания в контуре не затухают.

Если при положительной обратной связи медленно увеличивать расстояние между катушками Lсв и L, то с помощью осциллографа можно обнаружить, что амплитуда автоколебаний уменьшается, и автоколебания могут прекратиться. Это значит, что при слабой обратной связи энергия, поступающая в контур, меньше энергии, необратимо преобразуемой во внутреннюю.

Таким образом, обратная связь должна быть такой, чтобы: 1) напряжение на эмиттерном переходе изменялось синфазно с напряжением на конденсаторе контура - это фазовое условие самовозбуждения генератора; 2) обратная связь обеспечивала бы поступление в контур столько энергии, сколько ее необходимо для компенсации потерь энергии в контуре - это амплитудное условие самовозбуждения.

Частота автоколебаний равна частоте свободных колебаний в контуре и зависит от его параметров.

Уменьшая L и С, можно получить высокочастотные незатухающие колебания, используемые в радиотехнике.

Амплитуда установившихся автоколебаний, как показывает опыт, не зависит от начальных условий и определяется параметрами автоколебательной системы - напряжением источника, расстоянием между Lсв и L, сопротивлением контура.

Колебательный контур называется идеальным, если он состоит из катушки и емкости и в нем нет сопротивления потерь.

Рассмотрим физические процессы в следующей цепи:

1 Ключ стоит в положении 1. Конденсатор начинает заряжаться, от источника напряжения и в нем накапливается энергия электрического поля,

т.е.конденсатор становится источником электрической энергии.

2. Ключ в положении 2. Конденсатор начнет разряжаться. Электрическая энергия, запасенная в конденсаторе переходит в энергию магнитного поля катушки.

Ток в цепи достигает максимального значения(точка 1). Напряжение на обкладках конденсатора уменьшается до нуля.

В период от точки 1 до точки 2 ток в контуре уменьшается до нуля, но как только он начинает уменьшатся, то уменьшается магнитное поле катушки и в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции, который противодействует уменьшению тока, поэтому он уменьшается до нуля не скачкообразно, а плавно. Так как возникает ЭДС самоиндукции, то катушка становится источником энергии. От этой ЭДС конденсатор начинает заряжаться, но с обратной полярностью (напряжение конденсатора отрицательное) (в точке 2 конденсатор вновь заряжается).

Вывод: в цепи LC происходит непрерывное колебание энергии между электрическим и магнитным полями, поэтому такая цепь называется колебательным контуром.

Получившиеся колебания называются свободными илисобственными , поскольку они происходят без помощи постороннего источника электрической энергии, внесенной ранее в контур (в электрическое поле конденсатора). Так как емкость и индуктивность идеальны (нет сопротивления потерь) и энергия из цепи не уходит, амплитуда колебаний с течением времени не меняется и колебания будут незатухающими .

Определим угловую частоту свободных колебаний:

Используем равенство энергий электрического и магнитного полей

Где ώ угловая частота свободных колебаний.

[ ώ ]=1/с

f 0= ώ /2π [Гц].

Период свободных колебаний Т0=1/f .

Частоту свободных колебаний называют частотой собственных колебаний контура.

Из выражения: ώ²LC=1 получимώL=1/Cώ , следовательно, при токе в контуре с частотой свободных колебаний индуктивное сопротивление равно емкостному сопротивлению.

Характеристические сопротивления.

Индуктивное или емкостное сопротивление в колебательном контуре при частоте свободных колебаний называется характеристическим сопротивлением.

Характеристическое сопротивление вычисляется по формулам:

5.2 Реальный колебательный контур

Реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением, поэтому при воздействии в контуре свободных колебаний энергия предварительно заряженного конденсатора постепенно тратится, преобразуясь в тепловую.

Свободные колебания в контуре являются затухающими, так как в каждый период энергия уменьшается и амплитуда колебаний в каждый период будет уменьшаться.

Рисунок - реальный колебательный контур.

Угловая частота свободных колебаний в реальном колебательном контуре:

Если R=2… , то угловая частота равна нулю, следовательно свободные колебания в контуре не возникнут.

Таким образом колебательным контуром называется электрическая цепь состоящая из индуктивности и емкости и обладающая малым активным сопротивлением, меньшим удвоенного характеристического сопротивления, что обеспечивает обмен энергией между индуктивностью и емкостью.

В реальном колебательном контуре свободные колебания затухают тем быстрее, чем больше активное сопротивление.

Для характеристики интенсивности затухания свободных колебаний используется понятие «затухание контура» - отношение активного сопротивления к характеристическому.

На практике используют величину, обратную затуханию – добротность контура.

Для получения незатухающих колебаний в реальном колебательном контуре необходимо в течение каждого периода колебаний пополнять электрическую энергию на активном сопротивлении контура в такт с частотой собственных колебаний. Это осуществляется с помощью генератора.

Если подключить колебательный контур к генератору переменного тока, частота которого отличается от частоты свободных колебаний контура, то в цепи протекает ток с частотой равной частоте напряжения генератора. Эти колебания называют вынужденным.

Если частота генератора отличается от собственной частоты контура, то такой колебательный контур является ненастроенным относительно частоты внешнего воздействия, если же частоты совпадают, то настроенным.

Задача: Определить индуктивность, угловую частоту контура, характеристическое сопротивление, если емкость колебательного контура 100 пФ, частота свободных колебаний 1,59 МГц.

Решение:

Тестовые задания:

Тема занятия 8: РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

Резонанс напряжений – явление возрастания напряжений на реактивных элементах, превышающих напряжение на зажимах цепи при максимальном токе в цепи, которое совпадает по фазе с входным напряжением.

Условия возникновения резонанса:

Последовательное соединение LиCс генератором переменного тока;

Частота генератора должна быть равна частоте собственных колебаний контура, при этом характеристические сопротивления равны;

Сопротивление должно быть меньше, чем 2ρ, так как только в этом случае в цепи возникнут свободные колебания, поддерживаемые внешним источником.

Полное сопротивление цепи:

так как равны характеристические сопротивления. Следовательно, при резонансе цепь носит чисто активный характер, значит, входное напряжение, и ток в момент резонанса совпадают по фазе. Ток принимает максимальное значение.

При максимальном значении тока напряжение на участках L и C будут большими и равными между собой.

Напряжение на зажимах цепи:

Рассмотрим следующие соотношения:

, следовательно

Q – добротность контура –при резонансе напряжения показывает, во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше входного напряжения генератора, питающего цепь. При резонансе коэффициент передачи последовательного колебательного контура

резонанса.

Пример:

Uc=Ul=QU =100В,

то есть напряжение на зажимах меньше напряжений на емкости и индуктивности. Это явление называется резонансом напряжений

При резонансе, коэффициент передачи равен добротности.

Построим векторную диаграмму напряжения

Напряжение на емкости равно напряжению на индуктивности, следовательно напряжение на сопротивлении равно напряжению на зажимах и совпадает по фазе с током.

Рассмотрим энергетический процесс в колебательном контуре:

В цепи имеется обмен энергии между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки. К генератору энергия катушки не возвращается. От генератора в цепь поступает такое количество энергии, которое тратится на резисторе. Это необходимо для того, чтобы в контуре наблюдались незатухающие колебания. Мощность в цепи только активная.

Докажем это математически:

, полная мощность цепи, которая равна активной мощности.

Реактивная мощность.

8.1 Резонансная частота. Расстройка.

Lώ=l/ώC , следовательно

, угловая резонансная частота.

Из формулы видно, что резонанс наступает, если частота питающего генератора равна собственным колебаниям контура.

При работе с колебательным контуром необходимо знать, совпадает ли частота генератора и частота собственных колебаний контура. Если частоты совпадают, то контур остается настроенным в резонанс, если не совпадает – то в контуреприсутствует расстройка.

Настроить колебательный контур в резонанс можно тремя способами:

1 Изменять частоту генератора, при значениях емкости и индуктивности const, то есть изменяя частоту генератора мы подстраиваем эту частоту под частоту колебательного контура

2 Изменять индуктивность катушки, при частоте питания и емкости const;

3 Изменять емкость конденсатора, при частоте питания и индуктивности const.

Во втором и третьем способе изменяя частоту собственных колебаний контура, подстраиваем ее под частоту генератора.

При ненастроенном контуре частота генератора и контура не равны, то есть присутствует расстройка.

Расстройка – отклонение частоты от резонансной частоты.

Существует три вида расстройки :

Абсолютная – разность между данной частотой и резонансной

Обобщенная – отношение реактивного сопротивления к активному:

Относительная – отношение абсолютной расстройки к резонансной частоте:

При резонансе все расстройки равны нулю , если частота генератора меньше частоты контура, то расстройка считается отрицательной,

Если больше – положительной.

Таким образом добротность характеризует качество контура, а обобщенная расстройка- удаленность от резонансной частоты.

8.2 Построение зависимостейX , X L , X C отf .

Задачи:

Сопротивление контура 15 Ом, индуктивность 636 мкГн, Емкость 600 пФ, напряжение питающей сети 1,8 В. Найти собственную частоту контура, затухание контура, характеристическое сопротивление, ток, активную мощность, добротность, напряжение на зажимах контура.

Решение:

Напряжение на зажимах генератора 1 В, частота питающей сети 1 МГц, добротность 100, емкость 100 пФ. Найти: затухание, характеристическое сопротивление, активное сопротивление, индуктивность, частоту контура, ток, мощность, напряжения на емкости и индуктивности.

Решение:

Тестовые задания:

Тема занятия 9 : Входные и передаточные АЧХ и ФЧХ последовательного колебательного контура.

9.1 Входные АЧХ и ФЧХ.